Reflejos
1) Eje de x
y = -f(x)
ej. f(x) = -x al cuadrado
f(x) = - raiz cuadrada de x
viernes, 19 de abril de 2013
Cociente Diferencial
En el calculo existe una exprecion llamda cociente diferencial.
f(x + h) - f(x)/h , h no es igual a 0
f(x) = 3x + 2
pasos
1) f(x + h) = 3(x + h) + 2
= 3x + 3h + 2
2) f(x + h) - f(x) = 3x + 3h + 2 - (3x + 2)
3) f(x + h) - f(x) = 3h/h
= 3
f(x + h) - f(x)/h , h no es igual a 0
f(x) = 3x + 2
pasos
1) f(x + h) = 3(x + h) + 2
= 3x + 3h + 2
2) f(x + h) - f(x) = 3x + 3h + 2 - (3x + 2)
3) f(x + h) - f(x) = 3h/h
= 3
Composicion de funciones
Dada dos funciones f y g la funcion compuesta denotada por f o g se define como :
(f o g) (x) = f(g(x))
ej. f(x) = 2x ala 2 - 3
g(x) = 4x
Encontrar
(f o g) (x) = 2(4x)2 - 3
= 2(16x2) -3
= 32x2 - 3
Inversa de una funcion
Sea f una funcion uno a uno y = f(x). La inversa de f, denotada f elevado ala -1, es una funcion tal que f elevado ala -1(f(x)0 = x para toda x en el dominio de f
x / x2
1 1
2 4
-2 4
Pasos para encontrar la inversa
1) Cambie f(x) por y
2) Intercambie la x con la y
3) Despeja para y
4)El resultado es f elevado ala -1(x)
(f o g) (x) = f(g(x))
ej. f(x) = 2x ala 2 - 3
g(x) = 4x
Encontrar
(f o g) (x) = 2(4x)2 - 3
= 2(16x2) -3
= 32x2 - 3
Inversa de una funcion
Sea f una funcion uno a uno y = f(x). La inversa de f, denotada f elevado ala -1, es una funcion tal que f elevado ala -1(f(x)0 = x para toda x en el dominio de f
x / x2
1 1
2 4
-2 4
Pasos para encontrar la inversa
1) Cambie f(x) por y
2) Intercambie la x con la y
3) Despeja para y
4)El resultado es f elevado ala -1(x)
Tecnicas de trazados de grafica
Desplazamiento horizontal
y = f(x + k)
K > 0 la grafica se mueve K unidades hacia la izquierda
K < 0, la grafica se mueve k unidades hacia la derecha
las graficas se dividen en:
a) f(x) = x al cuadrado
b) f(x) = raiz cuadrada de x
c) f(x) = x a la 3
d) f(x) = valor absoluto de x
e) f(x) = 1/x
y = f(x + k)
K > 0 la grafica se mueve K unidades hacia la izquierda
K < 0, la grafica se mueve k unidades hacia la derecha
las graficas se dividen en:
a) f(x) = x al cuadrado
b) f(x) = raiz cuadrada de x
c) f(x) = x a la 3
d) f(x) = valor absoluto de x
e) f(x) = 1/x
Funciones
Funciones y sus graficas
Observaciones
Las funciones se denotan por letras tales como: f,F,g,C
La funcion que a cada numero real le asigna su cuadrado, puede represnetarse como: f(x) = x elevado a la 2
Es importante se~alar que puede utilizar cualquier letra para nombrar la variable independiente.
f(x) = y
y = 2x - 3
f(x) = 2x - 3
f(-3) = 2(-3) - 3 x / f(x)
= -6 - 3 -3 -9
= -9 2 1
1 -1
1 -1
Pendiente de rectas paralelas y perpendeiculares
Pendiente paralela / Pendiente Perpendicular
m = 2 m = -1/2
(4,-1) (-1,3)
y - y1 = m(x - x1) y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = 2(x - 4) y - 3 = -1/2(x + 1)
y + 1 = 2x - 8 y - 3 = -1/2x - 1/2 + 3
y = 2x - 8 -1 y = -1/2 - 1/2 + 3
y = 2x - 9 y = -1/2x + 5/2
x / y / x / y
0 -9 -2 3.5
1 -7 -1 3
2 -5 0 2.5
3 -3 3 1
4 0 5 0
Intersecciones
m = 2, Int. en y (0,5) Int. en x y = 0
y = 2x + 5
x / y 0 = 2x + 5
-3 -1 -5/2 = 2x/2
-2 1 -5/2 = x
-1 3
0 5
1 7
2 9
lunes, 8 de abril de 2013
graficas y funciones
rectas y sus pendientes
ecuacion lineal en 2 variables
Ax + By = C
forma estandar de la ecuacion lineal
intercepto
intercepto en x intercepto en y
y = 0 x=0
x -> variable independiente
y- variable independiente
ejemplo
1) 2x + 3y = 6 2x+ 3y=6
2x+3(0)=6 2(0)+3y=6
2x = 6 3y =6
2 2 3 3
x=3 y=2
(3,0) (0,2)
table de valores
X /Y
3 0
0 2
2 2/3= 0.66
1 4/3=1.33
-1 8/3=2.66
-2 10/3=3.33
ecuacion lineal en 2 variables
Ax + By = C
forma estandar de la ecuacion lineal
intercepto
intercepto en x intercepto en y
y = 0 x=0
x -> variable independiente
y- variable independiente
ejemplo
1) 2x + 3y = 6 2x+ 3y=6
2x+3(0)=6 2(0)+3y=6
2x = 6 3y =6
2 2 3 3
x=3 y=2
(3,0) (0,2)
table de valores
X /Y
3 0
0 2
2 2/3= 0.66
1 4/3=1.33
-1 8/3=2.66
-2 10/3=3.33
Graficas y Funciones
Distancia y Punto Medio 1/2/13
Esto es un sistema de coordenada cartesiana
Formula: d= √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Halle la distancia entre el punto A(8,-5) y el punto B(3,7)
dAB = √(8-3)2 + (-5+-7)2
= √(5)2 + (2)2
= √25 + 144
= √169
= 13 unidades
miércoles, 30 de enero de 2013
Diagrama de arbol
es una eramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experinemto aleatorio. en el calculo de la probabilidad se requiere conoser el numero de elementos que forman parte del espacion muestral , esto se le puede determinar con la construccion del diagrama de arbol.
Ejemplo:
determine cuantos numeros de 3 digitos pueden escrivirse con los digitos 1 2 3
resultados :
111 311
112 312
113 313
121 321
122 322
123 323
131 331
132 332
133 333
211
212
213
Ejemplo:
determine cuantos numeros de 3 digitos pueden escrivirse con los digitos 1 2 3
111 311
112 312
113 313
121 321
122 322
123 323
131 331
132 332
133 333
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221
222
223
231
232
233
martes, 15 de enero de 2013
Principio Fundamental De Conteo
Cuando una tarea consiste en k fases separadas, si la primera puede hacerse en n1 formas la segunda se puede hacer en n2 formas etc... y su asi hasta la k-esima fase, que puede hacerse nk formas
Los resultados
n1 x n2 x n3... nk
1) Cuantos numeros de dos digitos hay en nuestro sistema numerocp base (10) de los numeros naturales?
Parte de la tarea 1er digito 2do digito
9 x 10
Resultado = 90
2) Cuantos numeros naturales impares de 3 digitos hay?
Parte de la tarea 1er 2do 3ero
8 x 8 x 5 = 320
Las tablillas de los autos tienen 3 letras seguidas de tres numeros. Cuantas tablillas diferenmtes son posibles?
letras numeros
26 elevado ala 3 x 10 elevado ala 3 = 17,576,000
Los resultados
n1 x n2 x n3... nk
1) Cuantos numeros de dos digitos hay en nuestro sistema numerocp base (10) de los numeros naturales?
Parte de la tarea 1er digito 2do digito
9 x 10
Resultado = 90
2) Cuantos numeros naturales impares de 3 digitos hay?
Parte de la tarea 1er 2do 3ero
8 x 8 x 5 = 320
Las tablillas de los autos tienen 3 letras seguidas de tres numeros. Cuantas tablillas diferenmtes son posibles?
letras numeros
26 elevado ala 3 x 10 elevado ala 3 = 17,576,000
Metodos de conteo
Los metodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el numero de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.
A) Tareas con una fase
1) Lanzar una moneda al aire (2 posibles resultados)
2) Tirar un dado (6 posibles resultados)
3) Club de 5 miembros ( 5 posibles resultados)
B) Tareas con 2 fases
1) Determine la cantidad de numeros de dos digitos que pueden escribirse con los digitos [1,2,3]
segundo digito
1 2 3
primer digito 1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
probabilidad de 1/9 (11%)
A) Tareas con una fase
1) Lanzar una moneda al aire (2 posibles resultados)
2) Tirar un dado (6 posibles resultados)
3) Club de 5 miembros ( 5 posibles resultados)
B) Tareas con 2 fases
1) Determine la cantidad de numeros de dos digitos que pueden escribirse con los digitos [1,2,3]
segundo digito
1 2 3
primer digito 1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
probabilidad de 1/9 (11%)
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