Credito Abierto

Metodos para calcular el interes de la tarjeta de credito

1) metodo del balance previo- se calcula el interes sobre el balance del mes anterior
P= balance anterior
r= tasa anual
T= 1/12


2) metodo del balance ajustado- Se calcula el interes sobre el balance del mes anterior, menos los creditos y los pagos.
P= balance
r= tasa anual
t= 1/12

3) metodo del balance diario- se suma el balance mayor diario en el periodo que se cobra, y a continuacion se divide entre el numero de dias en dicho periodo para calcular cual es el balance diario.
P= balance diario
r= tasa anual
t= numero de dias en prepago/365

Tasa Porcentual Anual

APR= 2Nr/N+1
APR= 2(60)(0.15)/60+1
APR= 29.99%

Con interes
P= $899.99
APR= 29.99
N= 24 meses
T= 2 años

I= P(APR) t
I= (899.99)(.2999)(2)

A= P+ I
A= 899.99 + 539.81
A = $1439.80

PM= 1439.80/24
PM= $59.95

Compras a plazo

Hay un tipo de credito el consumidor que leper,iten efectuar compras a plazos.

A) Capital limitado - es el prestamo tradicional a plazos. Es un convenio para pagar un prestamo o una compra haciendo pagos iguales a intervalos regulares

B) Prestamo abierto - este tipo de credito. Permite compras en dinero hasta por una linea de credito, especificada, y tiene calendario flexible de pagos.

I= Prt
A= p t i

I= (1000)(.15)(3)
I= $450

A= 1000+450
A= $1,450

Mp= 1,450/36= $40.27

Inflacion

Inflacion- Es un aumento de la moneda de circulacion, lo cual conduce a una caida en su valor y un aumento de precios.

Ej. Daniel y Maria ahorran para el pronto pago de su casa la cantidad de $10,000 para cuando se casen dentro de 2 años. ¿Cual es el valor presente si el dinero se deposita en una cuenta de ahorros qu epaga al 8% compuesto cada 3 meses?

P= A(1+i)elevado ala -n A= $10,000 r= 8% t= 2 años N= 8 años i= .02
= 10,000(1+.02)-8
=$8,533.94

Valor Futuro por Ingrid Deida

Valor futuro- Es la cantidad que se tendra despues de sumar el interes y el principal

A= P + I
Ej.

I= Prt
= 78.84(.08)(1)
= $6.31


A=P(1+r)t

A=73(1+.08)3
A=$91.96

Por Ingrid Deida

Matematicas Financieras Por: Ingrid Deida

Interes:
Problema - Juan acaba de recibir de su abuela una herencia de $25,000 y desea utilizarla para su retiro. Como tiene 25 años, calcula que puede invertir este dinero durante 40 años antes de que lo necesite. Se le ofrecen dos alternativas. La primera es comprar un certificado de deposito que paga 10% de interes simple por ese tiempo. La otra es colocando en una cuenta de IRA que pagara 3.5% de interes compuesto diario. ¿Cual de estas opciones deberia cojer?

Interes - Es el concepto fundamental de las matematicas financieras. Es la cantidad de dinero que se pagao recibe en una transcripcion de dinero.

Ej.
I=Prt
=73(.08)(1)
=$5.84
Por Ingrid Deida

Desviacion Estandar

S=raiz cuadrada(media)(x-x)elevado ala 2

Sea una muestra de n datos numericos con una medida de x. Entonces,la desviacion estandar neutral (s) se obtiene:

Ej. 7,9,18,22,27,29,32,40

1) media
2)desviaciones de la media
3)eleve ala 2
4)sume los cuadrados
5)dividir suma entre n-1
6)raiz cuadrada del resultado

Medidas de dispersion

Rango-para cualquier conjunto de datos, el rango del conjunto esta dado por:
   
            Rango= valor mayor - valor menor

Desviacion estandar - Se basa en las desviaciones de la  medida que presentan los datos. Para encontrar cuanto se desvia cada valor de la media, encuentre primero la media y luego reste esta media a cada uno de los datos


Encontrar las desviaciones
32,41,47,53,57
Media = 230/5
Media = 40
Valores 32   41   47    53    57
             -14 -5     1       7     11

Medidas de Tendencia Central/ Tallo y Hoja

Por Ingrid Mariel Deida Boster

Para cierta fecha cercana a la mitad de la temporada, los equipos de la NBA han ganado las siguientes cantidades de partidos.

20,29,11,26,11,12,7,26,18,19,14,13,22,9,25,11,10,15,10,22,23,31,8,24,15,24,15

Diagrama De Tallo y Hoja

Tallo	Hoja
0	7	8	9
1	0	0	1	1	1	2	3	4	5	5	5	8
2	0	2	2	3	4	4	5	6	6	9
3	1

Proceso Estadistico

1) Determinar lo que se quiere saber
2) Objetivo del analisis, Que necesitas saber?,Que espera encontrarse?, seleccionar muestra,como obtendran los datos de la muestra?
3) Datos recolectados
4) Estadisticas de la muestra graficas estadisticas descriptivas
5) Poblacion estadistica, recoleccion de datos sobre los cuales se desea reunir informacion

Variabilidad

Por Ingrid Mariel Deida Boster


-Siempre hay variabilidad en los datos
- Uno de los objetivos de la  estadistica es caracterizar y medir la variabilidad
-En la manufactura, controlar o reducir

ejmpl.

Un empacador de refrescos indica que cada lata contiene 12 onzas. Cuanto refresco tiene en realidad cada lata?


Es poco probable que todas las latas contengan 12 onzas
Existe Variabilidad en el proceso de llenar las latas
Algunas latas contienen un poco mas de 12 onzas
En promedio las latas tienen 12 onzas
El empacador espera que haya poca variabilidad en el proceso de tal forma que las latas esten lo mas cerca posible a las 12 onzas de refresco.

Proceso estadistico

Distribucion de frecuencia (f) indica el numero de veces en el que el elemento correspondiente aparese en el conjunto de datos

Ej:

Se realizo un sondeo entre 25 miembros de una clase acerca del numero de hermanos que tenían en su familia  (datos cuantitativos)

2, 3, 1, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 1, 1, 4, 2, 4, 2, 5, 4, 3, 6, 5, 1, 6, 2, 2, 2

grafica de bara

grafica lineal

grafica circular

Conceptos básicos de estadistica:

Continuación:

Ej:

Un estudio reciente examina resultados de las pruebas de collage board de una muestra de estudiantes de duodécimo.

-la media de los puntajes de matemáticas fue de 462

-la medida de los puntajes de español fue de 520

-2 porciento de los estudiantes tuvo mayor de 600 puntos en la prueba de matemática

-10 porciento de los estudiantes tuvo mayores de 600 puntos en la prueba de español

Esta información representa valores que se obtienen de la estadística

Descriptiva. Podemos preguntarnos ¿Qué harían las autoridades educativas?

-el secretario de educación determino que los valores obtenidos son representativos de toda la población, es decir, todos los estudiantes de duodécimo

-concluyo que los estudiantes están deficientes en matemáticas y ordeno una investigación para determinar por que los estudiantes obtuvieron tan bajo puntaje en matemática  

Esta información representa

Ejemplo de estadística inferencial

Divisibilidad entre 7 y entre 11

Divisibilidad entre 11
-Iniciando a la izquierda del numero dado, obtenga la suma de los digitos tomados de manera alternada, es decir uno si y otro no
-Sume los digitos que no sumo en el paso anterior
-Reste la mas pequeña de las sumas de la mayor
-Si el númerodado tambien

Ejemplo
1) 8,493,969 = 35 - 13 = 22

8+9+9+9 = 35         4+3+6 = 13

Divisibilidad entre 7 y entre 11

En la teoria de numeros hay una forma de saber si un numero es divisible entre 7 y 11.

Divisibilidad entre 7

-Duplique el ultimo digito del numero dado u reste este valor del numero sin su ultimo digito
-Repita este proceso tantas veces como sea necesario hasta que el numero obtenido se pueda dividir facilmente entre 7
-Si el ultimo numero obtenido es divisble entre 7, entonces el numero dado tambien es divisible.

Ejemplos:
                     
1) 142,891.                     2) 409,311
     14,289 - 2.                      40,931 - 2
      1428 - 14.                        4092 - 18
       141 - 8.                             407 - 8
        13 - 6.                               39 - 18.    
                                                  21
          7

Teoria de numeros

Naturales-compuestos por los numeros desde el 1 al infinito

Sucesor-si n es un numero natural entonces el sucesor de n, es decir, n + 1 tambien es un numero natural

Divisibilidad

Un numero natural es divisible por:

2: si termina en 0 o en cifra par

3: si la suma de sus cifras es multiplo de 3

4: si el numero formado por sus dos ultimas cifras es 00 o es multiplo de 4

5: si termina en 0 o en 5

6: si lo es por 2 y 3 ala vez

8: si el numero formado por sus tres ultimas cifras es 000 o es multiplo de 8

9: si la suma de sus cifras es multiplo de 9

12: si es divisible entre 3 y 4

Ejemplos:

1) 315 - 3,5,9

2) 630 - 2,3,5,6,9,10

3) 25,025 - 5

4) 45,812 - 2,4

5) 123,456,789 - 3,9

6) 987,654,321 - 3,9

Teoría del numero:

 v  El máximo común divisor (M. C. D.) mayor numero que divide a cada uno de los números en un conjunto dado

 v  Descomponemos cada factor en los factores primos

 El M. C. D.

b  Buscar:

=

     

         

                    

 v  El minimo común múltiplo de un conjunto de numero es el minimo numero que es múltiplo de cada uno de los números dados

 v  Descomponer los factores primos

             6 =  2.3

     

       

             

Johann Carl Friedrich Gauss  (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855), fue un matematico, astronomo, geodesta, y fisico aleman que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoria de numeros el analisis matematicos, la geometria diferencial, la estadistica, el algebra, la geodesia, el magnetismo y la optica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodijo, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente y completó su magnum optus a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoria de los numeros y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

Retrato de Carl Friedrich Gauss, por Christian Albrecht Jensen

 Diagrama de Venn

          Redacta una descripcion de cada area sombreada o dibuje un diagrama de Venn para cada situacion.

diagarama venn

Diagrama de Venn:

A U B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A n B= {4, 5}

A-B= {I, 2, 3}

B–A= {6, 7}

A’= {6, 7, 8, 9}

(A U B)’= A U B= {8, 9}

En un grupo de 30 estudiantes  tenemos que 18 toman la clase de matemáticas, 5 tienen matemática y biología y 8 ninguna de las dos ¿ cuantos estudiantes toman biología pero no matemáticas?



Dicen que en una escuela hay 24 estudiantes en la clase de algebra , 19 ciencia, 12 historia, 14 algebra y ciencia, 8 en algebra e historia, 6 ciencia e historia, 3 toman todas las clases ¿si se ase una excursión para cuantos estudiantes hay que conseguir transportación?

Diagrama de Venn y Subconjunto

Dato Historico:

En la teoria de conjutos comunmente utilizamos los diagramas de Venn, desarrollado por el logico John Venn (1884-1923). En estos diagramas el conjunto es representado por un rectangulo, y los demas conjuntos relevantes dentro de este universo se representan mediante regiones ovaladas.      



                                              

Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

Operaciones Entre Conjuntos

Tema: Operaciones Entre Conjuntos

Entre las operaciones entre conjuntos esta la Union, la Interseccion,la Diferencia, el Complemento y el Producto cruzado. La union se define como el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A y todos los elementos del conjunto A y todos los elemntos del conjunto B, sin repetirse. La interseccion de 2 conjuntos A y B se define como el conjunto que contiene a todos los elementos que son comunes a ambos conjuntos A y B. La diiferencia se define como el conjunto que contiene todos los elementos que estan en el conjunto B. El complemento de un conjunto A se denota y define por, A=A1= U-A. El producto cruzado de dos conjuntos A y B se define como el cruze de pares ordenados de A y B.

Ejemplos:

Union:
 A∪B={x|x∈A o x∈B}
A= {1,2,3}
B={3,4,5}                    A∪B={1,2,3,4,5}
                                           <---------]-----[----->
                                                        A       B
Interseccion:
 A ∩B ={x|x ∈ A y x ∈ B}
A={1,2,3,4,5,6}                             A ∩B {2,3,6}
B={2,3,6,7,8,9}                     <---------[-----]-------->
                                                                     A     B

    Diferencia:
     A-B={x|x ∈ A y x∉B}
  A= {1,2,3,4,5,6}                  A-B= {1,4,5}
 B={2,3,6,7,8,9}                        B-A= {7,8,9}
  ( A ∩B) - B = {2,3,6}-{2,3,6,7,8,9}

Complemento :
 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
         A'={7,8,9,10}
     
Producto Cruzado :
 AxB = {x|x (a,b)  a ∈ A y b ∈ B} 
A={1,2,3}                                     AxB= { (1,a), (1,b) ,(2,a),(2,b), (3,a), (3,b) }
B={a,b}  


 

Teoría de conjuntos

Todo conjunto es subconjunto de si mismo y se denota de esta manera

A ⊂ B

{2,4,6,8,} ⊂ A

{4,6 ,8} ⊂ A
{2} ⊂ A

El conjunto que contiene todos los conjuntos en una discucucion determinada se le llama el conjunto universal y se denota por   U

El conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, si A C B y A ≠ B, y se denota por A C B
Ejemplo:
    {1,3,5} ⊂ {1,2,3,4,5}

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos
{a,b,c} = {b,c,a}

⊂ subconjunto propio

⊂ subconjunto

U urniversal

₵ no es subconjunto

     ∈ pertenece

 ∉ no pertenece

B ={1,3,5,7}

{1} {1,3} {1,5} {1,3,5,7}
{3} {1,7} {5,7} {7,1,5}
{5} {3,5} {1,3,5} {7,3,1}
{7} {3,7} {3,5,7} { }

∈ se lee, es elemento de para indicar que el elemento no pertenece a un conjunto usamos el símbolo  ∉
Se lee, no es elemento de  para indicar que un elemento no es un subconjunto de otro conjunto usamos el símbolo
 A={2,4,6}   ₵

{2,4} ⊂ A
{2,4,5}  ₵ A
6,7 ∉ A
2,4 ∈ A                                                                                                                                             {2,4 {2,4}} ₵ A

Biografia de Leonardo de Pisa "Fibonacci"

.

Fibonacci, Leonardo da Pisa. Nació en 1170 probablemente en Pisa (ahora Italia) y murió en 1250 posiblemente también en Pisa.Leonardo Pisano es mejor conocido por su sobrenombre Fibonacci (figlio di Bonacci, es decir, hijo de Bonacci)Fue hijo de Guilielmo y miembro de la familia Bonacci. Fibonacci mismo utilizaba a veces el nombre Bigollo, que bien podría significar bueno-para-nada o un viajero. No es claro si sus paisanos querían expresar con este epíteto su desdén por un hombre que se ocupaba de cuestiones sin valor práctico, o más bien significaba la palabra en el dialecto toscano un hombre que solía viajar mucho, cosa que él, en efecto, hacía[15].

Fibonacci nació en Italia pero se educó en el norte de África donde su padre, Guilielmo, ocupaba un cargo diplomático, que consistía en representar a los mercaderes de la República de Pisa que comerciaban con Bugia, ahora llamada Bejaia, un puerto mediterráneo en el nordeste de Argelia. El pueblo se encuentra en la desembocadura del Wadi Soummam cerca del Monte Gouraya y el Cabo Carbón. Fibonacci aprendió matemáticas en Bugia y viajó profusamente con su padre, reconociendo las enormes ventajas de los sistemas matemáticos utilizados en los países que visitaban. Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci (1202):

Cuando mi padre, quien había sido nombrado por su país notario público en Bugia para trabajar para los mercaderes pisanos que iban allí, ocupaba su cargo, me llamó aún siendo niño para ir con él, y al tener yo un buen ojo para la inutilidad y la conveniencia futura, quiso que me quedara y recibiera instrucción en la escuela de contaduría. Ahí, cuando brillantemente me enseñaron el arte de los nueve símbolos de los indios, el conocimiento de este arte muy pronto me complació más que cualquier otra cosa y logré comprenderlo para todo aquello que era estudiado por este arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variantes.

Fibonacci dejó de viajar hacia el año 1200 cuando regresó a Pisa. Ahí escribió varios importantes textos que jugaron un papel importante para revivir antiguas habilidades matemáticas e hizo significativas contribuciones propias. Fibonacci vivió antes de que hubiera imprenta, de modo que sus libros eran manuscritos y la única forma de obtener la copia de uno era copiándolo a mano. De sus libros aún hay copias de Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225) y Liber quadratorum. Dado que relativamente pocas copias manuscritas pudieron ser producidas, somos hoy afortunados de poder tener acceso a lo que escribió. Sabemos, sin embargo, que escribió algunos otros textos, que desafortunadamente están perdidos. Su libro sobre aritmética comercial Di minor guisa se perdió, así como también su comentario sobre el Libro X, Elementos, de Euclides, que contenía un tratamiento de los números irracionales que Euclides había enfocado desde un punto de vista geométrico.

Podría pensarse que en una época en la que en Europa había poco interés en cuestiones intelectuales, Fibonacci habría sido totalmente ignorado. Éste no era, sin embargo, el caso, y un amplio interés en su trabajo sin duda alguna contribuyó fuertemente a su importancia. Fibonacci fue contemporáneo de Jordanus, aunque aquél era un matemático mucho más sofisticado y sus logros eran claramente reconocidos, aunque eran las aplicaciones prácticas más que los teoremas abstractos las que lo hicieron famoso entre sus contemporáneos.

El emperador del Sacro Imperio Romano era Federico II. Había sido coronado Rey de Alemania en 1212 y después coronado Sacro Emperador Romano por el Papa en la Basílica de San Pedro en Roma en noviembre de 1220. Federico II apoyaba a Pisa en sus conflictos con Génova en el mar y con Lucca y Florencia en tierra, y pasó los años hasta 1227 consolidando su poderío en Italia. El control de estado fue introducido en el comercio y la manufactura, y se formaron servidores públicos en la Universidad de Nápoles para supervisar estas actividades. Ésta fue fundada por Federico en 1224 precisamente para este fin.

Federico pronto supo de la obra de Fibonacci gracias a eruditos de su corte que mantenían correspondencia con Fibonacci desde su regreso a Pisa alrededor de 1200. Entre estos sabios se hallaba Michael Scotus, quien era astrólogo, Theodorus, el filósofo de la corte, y Dominicus Hispanus, quien fue el que le sugirió a Federico que conociese a Fibonacci, en ocasión de la reunión de la corte de Federico en Pisa hacia 1225.

Johannes de Palermo, otro miembro de la corte de Federico II presentó varios problemas y desafíos al gran matemático Fibonacci. Tres de estos problemas fueron resueltos por Fibonacci y dio soluciones en Flos que envió a Federico II. Más adelante daremos algunos detalles de estos problemas.

De después de 1228 sólo se conoce un documento que hace referencia a Fibonacci. Se trata de un decreto de la República de Pisa en 1240 en el cual se otorga un salario a:

... el serio y erudito Maestro Leonardo Bigollo ....

El salario se le dio a Fibonacci en reconocimiento por los servicios prestados a la ciudad, como consejero sobre asuntos de contabilidad y por sus enseñanzas a los ciudadanos.

Liber abaci, publicado en 1202 después del retorno de Fibonacci a Italia, fue dedicado a Scotus. El libro se basaba en los conocimientos sobre la aritmética y el álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. El libro, que fue ampliamente copiado e imitado, presentaba el sistema decimal posicional indo arábigo y el uso de los numerales árabes en Europa. De hecho, aunque se trataba de un libro principalmente destinado al uso de los numerales árabes, conocido como algoritmia, también se estudiaron en esta obra ecuaciones lineales simultáneas. Ciertamente, muchos de los problemas que Fibonacci considera en Liber abaci eran semejantes a los que aparecían en fuentes árabes.

La segunda sección de Liber abaci contiene una gran colección de problemas destinados a comerciantes. Relacionan el precio de mercancías, cómo calcular las ganancias en las transacciones, cómo convertirlas a las varias monedas en uso en las tierras mediterráneas, así como problemas que se habían originado en China.

Un problema en la tercera sección de Liber abaci condujo a la introducción de los números y de la sucesión de Fibonacci, por los cuales se le recuerda a Fibonacci hoy en día:

Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por pared por todas partes. ¿Qué tantas parejas de conejos pueden producirse a partir de esa pareja en un año, si se supone que cada mes cada pareja produce una nueva pareja que a partir del segundo mes se vuelve fértil?

La sucesión resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitió el primer término en Liber abaci). Esta sucesión, en la cual cada número es la suma de los dos números precedentes, ha resultado muy fructífera y aparece en muy distintas áreas de las matemáticas y la ciencia. El Fibonacci Quarterly es una revista moderna dedicada a estudiar las matemáticas relacionadas con esta sucesión.

Muchos otros problemas aparecen en esta tercera sección, incluyendo éstos y muchos más:

Una araña trepa tantos pies por día sobre un muro y se resbala para atrás un cierto tanto cada noche. ¿Cuántos días le toma trepar todo el muro? Un galgo cuya velocidad crece aritméticamente persigue una liebre cuya velocidad también crece aritméticamente. ¿Qué tanto recorren antes de que el galgo atrape la liebre? Calcular cuánto dinero tendrán dos personas después de que cierta cantidad cambia de manos y se da el incremento o decremento proporcional.

También hay problemas que involucran números perfectos, problemas que involucran el teorema chino del residuo y problemas sobre la suma de series aritméticas o geométricas.

Fibonacci trata números tales como Ö10 en la cuarta sección, tanto con aproximaciones racionales como con construcciones geométricas.

Una segunda edición de Liber abaci fue producida por Fibonacci en 1228 con un prólogo, típico de tantas segundas ediciones de libros, que dice:

... se ha agregado material nuevo [al libro] del cual también se ha eliminado material superfluo...

Otro de los libros de Fibonacci es Practica geometriae escrito en 1220 que lo dedica a Dominicus Hispanus quien ya ha sido mencionado antes. Contiene una gran colección de problemas geométricos distribuidos en ocho capítulos, con teoremas basados en los Elementos de Euclides Sobre Divisiones. Además de los teoremas geométricos con demostraciones precisas, el libro incluye información para exploradores, incluyendo cómo calcular la altura de objetos altos usando triángulos semejantes. El capítulo final presenta lo que Fibonacci llamó sutilezas geométricas[16]:

Entre las que se incluye el cálculo de los lados de un pentágono y de un decágono, a partir del diámetro de los círculos inscrito y circunscrito; también se da el cálculo inverso, así como el de los lados a partir de sus áreas. ...para completar la sección sobre triángulos equiláteros, se inscriben un rectángulo y un cuadrado en tal triángulo, y se calculan sus lados algebraicamente...

En Flos da Fibonacci una aproximación precisa para la raíz de 10x + 2x² + x³ = 20, uno de los problemas por cuya solución fue desafiado por Johannes de Palermo. Este problema no fue inventado por Johannes de Palermo, sino que éste lo obtuvo del libro de álgebra de Omar Khayyam, donde se resuelve por medio de la intersección de un círculo y una hipérbola. Fibonacci prueba que la raíz de la ecuación no es un entero, una fracción ni la raíz cuadrada de una fracción. Luego abunda:

Y ya que no fue posible resolver esta ecuación de ninguna otra manera, trabajé para reducir la solución a una aproximación.

Sin explicar sus métodos, Fibonacci después da la solución aproximada en notación sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (esto está escrito en base 60, por lo que es 1 + ²²/₆₀ + ⁷/₆₀² + ⁴²/₆₀³ + ...). Esto se convierte en el número decimal 1.3688081075 que es correcto hasta nueve cifras decimales, un logro notable.

Liber quadratorum, escrito en 1225, es la obra más impresionante de Fibonacci, aunque no sea la obra que lo hizo famoso. El nombre significa libro de los cuadrados y versa sobre teoría de números que, entre otras cosas, examina métodos para hallar ternas pitagóricas. Fibonacci hace notar primeramente que los números cuadrados pueden construirse como sumas de impares, esencialmente describiendo una construcción inductiva que hace uso de la fórmula n² + (2n+1) = (n+1)². Fibonacci escribe:

Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que surgen del ascenso regular de números impares. Ya que la unidad es un cuadrado, y de ella se produce el primer cuadrado, a saber, 1; sumando 3 a éste se obtiene el segundo cuadrado, a saber, 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se le suma un tercer impar, a saber, 5, se obtiene el tercer cuadrado, a saber, 9, cuya raíz es 3; y así la sucesión y la serie de números cuadrado siempre se obtiene a través de la suma normal de números impares.

Para construir las ternas pitagóricas, Fibonacci procede como sigue:

Así, cuando se desea hallar dos números cuadrados cuya suma produzca un número cuadrado, tomo cualquier número cuadrado impar como uno de los dos cuadrados, y encuentro el otro número cuadrado sumando todos los números impares a partir de la unidad hasta el número cuadrado impar, excluyéndolo. Por ejemplo, tomo 9 como uno de los dos cuadrados mencionados; el cuadrado restante se obtendrá sumando todos los impares anteriores a 9, a saber 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un número cuadrado que al sumarlo a 9 da 25, un número cuadrado.

Fibonacci también prueba muchos resultados interesantes sobre teoría de números tales como:

No existen valores x, y, tales que x² + y² y x² – y² sean ambos números cuadrados.

Y x⁴ - y⁴ no puede ser un cuadrado.

Definió el concepto de congruum, un número de la forma ab(a + b)(a – b), si a + b es par, y 4 veces esto si a + b es impar. Fibonacci probó que un congruum debe ser divisible entre 24 y también probó que para x, c tales que si x² + c y x² – c son ambos cuadrados, entonces c es un congruum. También probó que un cuadrado no puede ser un congruum.

Como se dice en su biografía[17]:

... el Liber quadratorum coloca a Fibonacci como el que más ha contribuido a la teoría de números entre Diofanto y Fermat.

La influencia de Fibonacci fue más limitada de lo que podría haberse esperado y fuera de su papel en extender el uso de los numerales indo arábigos y de su problema de los conejos, la contribución de Fibonacci a las matemáticas ha sido muy ignorada. Como se explica en otra biografía[18]:

La influencia directa la ejercieron solamente las porciones del Liber abaci y de la Practica que sirvió para introducir los numerales y los métodos indo arábigos y contribuyó a dominar los problemas de la vida diaria. Aquí se convirtió Fibonacci en el maestro de los amos del cálculo y de los exploradores, como se lee en la “Summa” de Luca Pacioli... Fibonacci también fue el maestro de los ‘Causistas’, que tomaron su nombre de la palabra ‘causa’, que se usó por vez primera en el occidente por Fibonacci en lugar de res o radix. Su designación alfabética para el número general o coeficiente fue mejorada hasta Viète ...

La obra de Fibonacci en teoría de números fue casi totalmente ignorada y virtualmente desconocida durante la edad media. Trescientos años después vemos aparecer sus mismos resultados en la obra de Maurolico.